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I radicali
A. I RADICALI
§1. La radice aritmetica
In questo paragrafo lavoreremo esclusivamente con i numeri reali non negativi R+. Dato un numero aaR+ ed un numero naturale nnN, noi sappiamo che esiste sempre la potenza n-sima di a, an. Inoltre si ha, evidentemente
an R+, ,aaR+ nnN.
Consideriamo ora il problema inverso, cioè l'equazione
xn=b,
dove b è un prefissato numero reale non negativo: bbR+; chiediamoci: questa equazione ha soluzioni in R+? ossia, ci sono numeri reali positivi la cui potenza n-sima faccia b? Fissiamo intanto la seguente
Definizione. Un numero reale, se esiste, x.0 soddisfacente l'equazione xn=b (bbR+, nnN+) si chiama radice n-sima aritmetica di b e si scrive nnb. b si chiama radicando, n indice di radice, la scrittura nnb radicale.
L'aggettivo "aritmetica" sta a ricordarci che stiamo trattando soltanto con numeri non negativi. È evidente che ¹ b=b, ,b. La radice "prima" quindi non si usa. Se n=2, si scrive =b sottintendendo l'indice 2 e si legge "radice quadrata"; se n=3, la radice si dice "cubica".
Le domande precedenti quindi sono: per ogni numero naturale positivo nn2 e per ogni numero reale non negativo b, esiste sempre qualche radice n-sima? Il quesito non è banale, come potrebbe sembrare ad una superficiale valutazione. Se ci restringessimo infatti all'insieme numerico N, mentre è vero che ogni numero naturale ha ogni potenza naturale (con l'eccezione di 0°)
0¹=0; 0²=0; 0³=0; 04=0;... (potenze banali)
1°=1; 1¹=1; 1²=1; 1³=1; 14=1;... ( " " )
2°=1; 2¹=2; 2²=4; 2³=8; 24=16;... (potenze non banali)
3°=1; 3¹=3; 3²=9; 3³=27; 34=81;... ( " " " )
...............................; ( " " " )
non è però vero l'inverso: dati due numeri naturali positivi b ed n, non sempre esiste in N la radice n-sima di b, anzi trattasi di evento rarissimo. Per es., posto n=3,
330 esiste e vale 0;
331 esiste e vale 1;
332 non esiste in N;
333 non esiste in N;
334 non esiste in N;
335 non esiste in N;
336 non esiste in N;
337 non esiste in N;
338 esiste e vale 2;
....................;
poi, nessun numero naturale da 9 a 26 ha una radice terza naturale ed occorre arrivare a 27 per avere
3327=3;
poi fino a 64 non ci sono più radici cubiche naturali, ecc. ecc. I numeri naturali come 0, 1, 8, 27, 64,... che hanno la radice cubica naturale si chiamano cubi perfetti. In N quindi 1) non sempre c'è la radice n-sima, e 2) quando c'è, è unica. La stessa cosa succederebbe in Q+: solo di tanto in tanto si può estrarre la radice n-sima, e quando c'è è unica. La situazione è completamente normalizzata in R+ , dove vale il seguente
Teorema dell'esistenza ed unicità. ‘Dati nnN, nn2 e bbR+, esiste sempre ed è unica la radice n-sima aritmetica di b, nnb.
Non daremo la dimostrazione di questo teorema, anche se non sarebbe difficile: basterebbe costruire le classi separate dei numeri razionali che sono approssimazioni per difetto e per eccesso di nnb, e dimostrare che sono contigue: allora la sezione razionale così ottenuta, generalmente priva in Q di elemento separatore, sarebbe per definizione un numero reale, quello che chiamiamo radice n-sima aritmetica di b. C'interessa piuttosto rilevare la completezza del campo R rispetto agli altri insiemi numerici: non solo con i numeri reali possiamo eseguire sempre le 4 operazioni aritmetiche e l'operazione di potenza con esponente nnZ (godendo esse della proprietà di chiusura), ma anche l'operazione inversa a quella di potenza (la radice) ha in R++R la proprietà di chiusura.
§2. Proprietà dei radicali
I radicali hanno 5 proprietà, che sono le corrispettive delle relative proprietà delle potenze.
I PROPRIETA’. ‘Il prodotto di due radicali aventi lo stesso indice è un radicale avente per indice lo stesso indice, e per radicando il prodotto dei radicandi.’ In formule:
nnaa n b=nn(ab).
II PROPRIETA’. ‘Il quoziente di due radicali aventi lo stesso indice è un radicale avente per indice lo stesso indice, e per radicando il quoziente dei radicandi:
(nna)/( n b)=nn(a/b).’
III PROPRIETA’. ‘La potenza di una radice è uguale alla radice della potenza:
(nna) m=nn(ab)m.’
IV PROPRIETA’. ‘La radice di una radice è una radice avente lo stesso radicando e per indice il prodotto degli indici:
nn(mma)=nmna.’
V PROPRIETA’ (detta invariantiva). ‘Moltiplicando o dividendo per lo stesso numero naturale positivo l'indice di radice e l'esponente del radicando, il radicale non cambia:
nna=nmn(a nm).’
Tutte le proprietà dei radicali sono facilmente deducibili dalle proprietà delle potenze.
§3. Radici algebriche
Finora ci siamo limitati ad R+. Consideriamo ora tutti i numeri reali, positivi e non. Chiediamoci: che cosa succede in R riguardo all'equazione
xn=b (b=R, n,n, n,2)?
esiste anche in R sempre la radice n-sima di un numero dato? è unica?
Le risposte passano attraverso 4 distinzioni, se n è pari o dispari, e se b è negativo o positivo:
1) n pari e b0: in questo caso, come già sappiamo esiste sempre ed è unica la radice aritmetica nnb, ossia
xn=b = x= n b (nnb)n =b.
Ma allora anche l'opposto -nnb è una soluzione dell'equazione xn=b; infatti
(- n b)n = (-1)n(nnb)n=+1b=b.
In conclusione, in campo R per ogni radicando positivo le radici ad indice pari sono 2, uguali ed opposte. Esse si chiamano le 2 radici algebriche reali n-sime di b:
±±2; ±445; ±¹²57;…
3) n dispari e b>0: in questo caso, come già sappiamo esiste sempre ed è unica la radice aritmetica n b. Andrebbe bene anche l’opposta - n b? No, perché stavolta
(- n b)n = (-1)n(nnb)n=-1b=-b
Quindi, in campo R per ogni radicando positivo esiste un'unica radice algebrica ad indice dispari che coincide con la radice aritmetica;
4) n dispari e b1;
pn =p¹=p, se n=1;
pn =p0 =1, se n=0, purché pp0;
pn =(1/p)-n, se n< 0, purché pp0.
L'operazione pn si chiama potenza di un numero reale relativo elevato ad un numero intero relativo; p si chiama base, n si chiama esponente. Al simbolo 0n (n 0) non è attribuito nessun significato. L'operazione di potenza in R ad esponente intero relativo, così definita, gode di 5 proprietà:
- 1ª proprietà: pmpn =pm+n;
- 2ª proprietà: pm/pn =pm-n;
- 3ª proprietà: (pm)n =pmn;
- 4ª proprietà: (pq)m =pmqm;
- 5ª proprietà: (p/q)m =pm/qm.
E se l’esponente è razionale? Si può dare significato ad espressioni come 20.5, (1/3)1/4, (-3/4)-0.001, (,2)12.(13),… in cui la base sia un qualsiasi numero reale e l'esponente sia un qualsiasi numero razionale, positivo, nullo o negativo?
Ci proponiamo ora di estendere il significato di potenza al caso in cui l'esponente è un numero razionale aaQ. Rinviamo invece al prossimo anno la definizione di potenze ad esponente irrazionale, tipo 3..
Con il simbolo pn/m (ppR+0; n,mnZ) intenderemo
pn/m =mmpn, se n/m >0;
pn/m =1/(|m||p|n| ), se n/m
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