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Modelli discreti e continui
LABORATORIO DI CALCOLO
GRUPPO: Ragalmuto Roberta, Tusa Francesco, Calì Andrea CLASSE: IV
SEZ.: B Informatica
TITOLO: I modelli discreti e continui: funzione di distribuzione, funzione di ripartizione,
proprietà dell’invarianza, valore medio, scarto quadratico medio e rappresentazione grafica.
CENNI TEORICI:
I MODELLI DISCRETI E CONTINUI
I modelli discreti e continui da noi studiati comprendono :
MODELLO UNIFORME;
MODELLO BERNOULLIANO
MODELLO GEOMETRICO;
MODELLO POISSONIANO.
MODELLO GAUSSIANO.
MODELLO UNIFORME
Si definisce variabile casuale con distribuzione uniforme la variabile casuale che assume i valori :
1, 2, 3,……, n
con probabilità:
p1, p2, p3,… …, pn
essendo:
p1=p2=p3=pn=1/n
Come si vede tutte le probabilità sono uguali ed è proprio per questo motivo che si parla di variabile casuale con distribuzione uniforme.
Evidentemente, si ha:
p1+p2+p3+……+pn = n*(1/n)=1
Graficamente la distribuzione uniforme è rappresentata :
Determinazione del valor medio
Si ha:
M(X)=1*1+2*1+3*1+…… +n*1= 1*(1+2+3+……+n)
n n n n n
Osserviamo quindi che:
1+2+3+…+n=1+n*n
2
in quanto si tratta della somma di n termini in progressione aritmetica di primo termine e ragione uguale a 1 (somma dei primi n numeri naturali), sostituendo si ottiene:
M(X)=1*1+n*n=1+n
n 2 2
Determinazione della varianza
Essendo:
var(X) = M(X2) - [M(X)]2
si ha:
var(X)= (n+1)(2n+1) - (1+n)2
6 2
Sviluppando, si ottiene:
var(X)= 2n2+3n+1 - 1+2n+n2 =4n2+6n+2-3-6n-3n2
6 4 12
cioè:
var(X) = n2-1
12
Riassumendo:
• Xi ≥ 0
• i=(1, 2, 3,…,n)
• P(Xi)=1/n
• ΣPi=1
• M(X)=(n+1)/2
• var(X)=(n2-1)/12
• σ(X)= √ (n2-1)/12
MODELLO BERNOULLIANO
Probabilità che un evento ripetibile si verifichi k volte su n prove
Consideriamo un evento E ripetibile e supponiamo di fare con esso n prove, tutte nelle stesse condizioni. Indichiamo quindi con:
‘p ’ la probabilità che in una prova si verifichi E;
‘q ’= 1- p la probabilità che in una prova si verifichi E, cioè non si verifichi E.
La probabilità che indichiamo con pn,k è:
Pn,k= n *pk *qn-k
k
Graficamente è rappresentata con funzione di distribuzione:
Riassumendo:
• Xi>0
• P(k)= n *pk *qn-k con k ≤ n (p+q)n=1n=1
k
• ΣP(k)=1
• M(k)=np
• Var(k)=npq
• σ(k)= √var(k)= √npq
MODELLO GEOMETRICO
Consideriamo la variabile casuale X che assume tutti i valori interi da O a + ∞, cioè:
0 1 2 …… k ……
con probabilità rispettivamente uguali a:
p pq pq2 …… pqk……
essendo:
p=1-q e 0
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