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Equazioni differenziali
LE EQUAZIONI DIFFERENZIALI
1) INTRODUZIONE
Un’equazione differenziale è un’equazione matematica avente come incognita una funzione y =f (x), che definisce una relazione tra x, y e le derivate successive di y, calcolate rispetto alla variabile x.
Una equazione differenziale è detta di ordine n quando stabilisce una relazione tra y, x e le prime n derivate di y rispetto a x; nel caso più generale, essa può essere espressa nella forma:
F (x, y, y', y'', ... , yn) = 0
Risolvere, o integrare, un’equazione differenziale significa trovare tutte le sue soluzioni, ovvero quelle funzioni che verificano l’uguaglianza; esse sono infinite e dipendono da un numero di costanti pari all’ordine n dell’equazione stessa.
L’insieme di tutte le soluzioni è detto Integrale Generale espresso come:
y = Φ (x,c1,c2....cn)
Ogni funzione che si ottiene dall’integrale generale assegnando particolari valori alle costanti c1,c2....cn viene chiamata Integrale particolare.
TEOREMA DI CHAUCHY
Se la funzione f(x,y) e la sua derivata parziale sono continue nei punti interni ad un certo dominio D e se è un punto interno a D, allora esiste une ed una sola soluzione dell’equazione:
definita in un certo intorno di x0, per la quale risulta cioè per il punto passa una sola curva integrale dell’equazione.
2) EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE
Si definisce equazione differenziale del primo ordine un equazione del tipo:
F (x,y,y’) = 0
Nella quale la x e la y possono anche non comparire , mentre la y’ deve esplicitamente figurare (altrimenti l’equazione non risulterebbe di natura differenziale.
Prendiamo in esame 5 tipi di equazioni differenziali del primo ordine con i rispettivi metodi per la risoluzione:
• EQUAZIONI A VARIABILI SEPARATE O SEPARABILI
• EQUAZIONI LINEARI
• EQUAZIONI OMOGENEE
• EQUAZIONI DI BERNOULLI
• EQUAZIONI DIFFERENZIALI ESATTE
- METODI DI RISOLUZIONE DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE
➢ EQUAZIONI A VARIABILI SEPARABILI
Questo tipo di equazioni hanno la proprietà di ridursi alla seguente forma:
Essendo: si ottiene che:
Dividendo i due membri per g(y) e integrando si ottiene il valore di y:
ESEMPIO 1
➢ EQUAZIONI LINEARI
Prende il nome di equazione differenziale lineare quella equazione che è di primo grado rispetto alla funzione incognita y e alla sua derivata prima y’; può essere scritta così:
Dove f(x) e g(x) sono funzioni continue della variabile x in un intervallo [a,b]:
Posto,
L’integrale generale è dato dalla relazione:
ESEMPIO 2
➢ EQUAZIONI OMOGENEE
Si chiama equazione differenziale omogenea del primo ordine, un’equazione che si può scrivere sotto la forma:.
Per risolverla si pone:
ovvero la cui derivata è
Sostituita nell’equazione si ottiene:
un’equazione a variabili separabili.
ESEMPIO 3
➢ EQUAZIONI DI BERNOULLI
E’ definita equazione di Bernoulli un’equazione differenziale del primo ordine che si può ricondurre alla forma:
Le funzioni f(x) e g(x) sono continue in un certo intervallo [a,b].
Si può essere trasformata in un equazione lineare di primo grado, dividendo entrambi i membri per ya:
si pone:
sostituendo si ottiene:
ESEMPIO 4
➢ EQUAZIONI ESATTE
Un’equazione del primo ordine del tipo:
con M(x,y) ed N(x,y) due funzioni continue, insieme alle loro derivate parziali prime, in un intorno R del punto , si dice esatta quando il suo primo membro è esatto, ovvero quando risulta:
, in tutti i punti interni ad R.
Il suo integrale generale è dato dalla funzione:
3) EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL SECONDO ORDINE
Si definisce equazione differenziale del secondo ordine un equazione del tipo:
F (x,y,y’,y’’) = 0
Nella quale la x, la y e la y’ possono anche non comparire , mentre la y’’ deve esplicitamente figurare (altrimenti l’equazione non risulterebbe del secondo ordine, ma di uno inferiore o del tutto non differenziale.
➢ EQUAZIONI OMOGENEE A COEFFICIENTI COSTANTI
Sono equazioni del tipo:
con a, b e c costanti reali.
Per determinare l’integrale generale si risolve un’equazione di 2° grado, detta “equazione caratteristica dell’equazione differenziale”, avente per coefficienti a, b e c:
Ricordando che un’equazione di II grado può avere soluzioni:
o REALI E DISTINTE
o REALI E COINCIDENTI
o COMPLESSE CONIUGATE
si distinguono i 3 casi.
• Soluzioni reali e distinte
In questo caso l’integrale generale dell’equazione differenziale è dato da:
ESEMPIO
• Soluzioni reali e coincidenti
In questo caso l’integrale generale dell’equazione differenziale è dato da:
ESEMPIO
• Soluzioni complesse
In questo terzo caso le soluzioni della equazione differenziale sono di natura complessa, ovvero costituite da una parte reale e una parte immaginaria.
Trovate le due soluzioni:
Si scrive l’integrale generale:
ESEMPIO
➢ EQUAZIONI NON OMOGENEE A COEFFICIENTI COSTANTI
Sono equazioni differenziali del tipo:
Nella quale g(x) viene detto “termine forzante”.
L’integrale generale è dato dalla formula:
Dove è l’integrale generale dell’equazione omogenea associata:e è un integrale particolare.
Nel caso in cui g(x) è un polinomio di grado n l’integrale particolare, è:
• Un polinomio dello stesso grado di g(x) se C ≠ 0
• Un polinomio di grado n+1 se C = 0
• Un polinomio di grado n+2 se b = C = 0
ESEMPIO SPIEGAZIONE
Si sostituisce nell’equazione originaria
Si confrontano i risultati
Non compare nessun valore per c quindi esso può assumere qualsiasi valore
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